Bilden och det avbildade

”Det är ett mirakel att matematikens språk lämpar sig så väl för att formulera fysikens lagar; det är en underbar gåva som vi inte förstår och inte heller gjort oss förtjänta av.” (E.P. Wigner The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, 1960)

Matematik tycks uppkomma i gränsområdet mellan mänsklig fantasi och den materiella verklighet och den har blivit djupt präglad av sitt dubbla ursprung. För å ena sidan är matematik rena fantasiskapelser, en sorts abstrakta världar i tal och former. Å andra sidan avbildar dessa fantasier ofta strukturer i den verkliga, materiella världen.
      Att matematik är mänskliga fantasier betyder emellertid inte att det är fritt fram för vad som helst. Alla talvärldar är kanske möjliga men bara några av dem är tillräckligt välstrukturerade och rika på inre möjligheter för att det skall vara lönt att utforska dem närmre. Matematik följer sin egen logik. Fantasin är tyglad av ett stramt regelverk, där målet är klarhet, genomskinlighet. Antingen är en sats bevisad eller obevisad – inte nästan bevisad. Kravet på exakthet är omutligt och varje motsägelse ett haveri. En enda motsägelse räcker för att ett matematiskt precisionsbygge skall rasa samman. Gång på gång har det emellertid inträffat att en forskare byggt ett matematiskt fantasirum och först långt senare inser andra forskare att just den matematik han hittade på i just det rummet ger en fördjupa förståelse av ett nyupptäckt rum i den materiella världen. Så även om matematiken tycks vandra fritt, vägledd enbart av en inre logik, hamnar den förr eller senare i rum, som finns i verkligheten. Och ofta var det en matematiker som först hittade dit.
      Matematikens dubbelnatur visar sig alltså som en strängt reglerad övergång från mänsklig fantasi till materiell verklighet. Materiens inre och yttre strukturer blir synliga genom matematikens struktur. Mekanikens lagar är teorem, som härletts ur ett matematiskt regelverk. Men är den relationen vändbar? Kan matematik framställas mekaniskt?
      Tanken är inte orimlig. För när nu matematik genererar de lagar som formar mekaniska förlopp så kanske också mekaniska förlopp kan generera de lagar som formar matematik. Och att generera matematik, är att tänka matematik. Men kan tankar tillverkas mekaniskt? Varför inte! Tankar om matematik formuleras i mänskliga hjärnor och hjärnan är ett stycke materia och all materia är som sådan underkastad mekanikens lagar. Så varför skulle det inte vara möjligt att tillverka en maskin, som tänker matematik?
      Idéer om mekaniskt framställt tänkande utvecklades för första gången på allvar under årtiondena före Första Världskriget. Det är tid då en mekanisk världsbild har slagit igenom på bred front. Allt som nu sker i materiens värld är styrt av mekanikens lagar. Det finns emellertid ett sista område som ännu inte blivit fullständigt erövrat, det gäller mänskligt medvetande, mänsklig insikt och fantasi. Många hoppas att matematik här som skall kunna fungera som övergång från en mekanisk verklighet in i det innerst mänskliga. För att pröva den möjligheten ger man sig i kast med att konstruera matematik med rent mekaniska metoder och man använder logiken som verktyg.

Mekanisk logik

Logik är en ansats att systematisera tankens lagar och här har ett deduktivt tillvägagångssätt fått gott anseende. I den deduktiva ansatsen utgår man från ett begränsat antal självklara satser, axiom, samt en uppsättning lika självklart giltiga regler för slutledning; och med hjälp av enbart dessa axiom och regler blir det möjligt att härleda en stor mängd nya satser, teorem. Om man kan visa att inga motsägelser finns mellan axiomen samt att reglerna inte kan genererar några satser som motsäger axiomen, då har man konstruerat en struktur som är garanterat fri från motsägelser. Då har man uppnått en exakthet som motsvarar den matematiker kräver.
      Inom en av logikens grenar, satslogik, bygger man deduktiva modeller med hjälp av satsscheman; det är axiom av typ ”om a är lika med a, så är a lika med a”, en sats vars förtjänst är att den inte går att motbevisa oavsett vad ”a” står för. Dessa axiom kan alla återföras på en symmetrisk grundform, som egentligen bara säger självklarheter av typ att ”a är lika med a” eller att ”a inte är lika med icke-a”.
      Nu använder man emellertid vanligtvis inte ord när man skriver formler inom satslogiken utan en särskild teckenskrift. Så satsen ”om a lika med a, så är a lika med a” brukar skrivas som:
,a=a.⊃(a=a)
Vill man göra det svårare för sig kan man konstruera ett mer invecklat axiom:
,a⊃b.⊃(,c∨a.⊃,c∨b.)
vilket uttytt betyder: ”om (om a så b) så (om (antingen c eller a) så (antingen c eller b))” vilket kräver en smula mer koncentration för att inse.
      Låt oss nu anta att vi med hjälp av satslogik har konstruerat en deduktiv modell, M, för enkel matematik. Det betyder att M är försedd både med gängse satslogiska axiom och regler för slutledning och att M dessutom har blivit utrustad med nödvändiga definitioner för att multiplicera och addera hela tal; allt detta skrivet i någon lämplig teckenskrift. Vilka krav skall nu ställas på M för att den skall kunna sägas generera en komplett och felfri heltalsaritmetik?
Ett första nödvändigt krav på varje deduktiv modell är att den skall vara fri från motsägelse. Om den påstår att ”a är lika med icke-a”, är den gravt defekt. Syftet med en modell är ju att den skall skilja det som är härledbart från det som inte är härledbart, alltså skilja mellan teorem och icke-teorem, givet ett definierat regelverk. En motsägelse medför emellertid att varje sats är ett teorem i modellen och att den därför är obrukbar.
      Ett specifikt krav på M är naturligtvis också att den skall klara av heltalsräkning. Det betyder att M aldrig får leverera ett falskt teorem, får aldrig påstå t.ex. att ”7 är jämt delbart med 2” eller att ”9 är ett primtal”. Vidare måste M alltid kunna avgöra om en aritmetisk sats är ett härledbart teorem eller inte. M får aldrig bli svarslös inför sådana uppgifter. Om dessa krav är uppfyllda får vi nog säga att M kan leverera en godtagbar aritmetik. Därmed inte sagt att M duger inom andra matematiska områden. Heltalsaritmetik är ju bara en första enkel övning. Men klarar den inte den, kan den inte heller ta sig vidare. 
    Logiska modeller av typ M brukar i första hand förstås som abstrakta begreppsstrukturer. De kan emellertid också ses som anvisningar för hur man konstruerar slutledningsmaskiner. Alltså maskiner som omvandlar givna sekvenser med tecken (det är axiom, regler och definitioner) till andra sekvenser med tecken (teorem) oavsett om dessa sekvenser betyder något eller inte. M:s deduktiva slutledningar är alltså resultat av helt mekaniska operationer.
Men om man nu kan bygga en maskin som levererar en tillförlitlig matematik och om den matematiken är den samma som den vi själva kan konstruera, så måste slutsatsen bli att sambandet mellan matematik och mekanik är reciprokt och symmetriskt. Mekanikens lagar och tankens lagar speglar och återger varandra oförmedlat och oförvanskat, åtminstone vad gäller enkel matematik. Men om en maskin producerar en matematik som är identisk med den som vår hjärna producerar, då finns inget skäl att anta att insikter och tankar uppkommer i en process, som förekommer enbart i den mänskliga hjärnan. Tänkandet är i grunden ett resultat av ett mekaniskt förlopp och det borde vara möjligt att bygga maskiner, som kan tänka.
En sådan slutsats hade varit nästintill tvingande om någon modell typ M hade kunnat svara mot kraven Men så är det inte. Genom en märklig serie argument kunde en österrikisk logiker, Kurt Gödel, bevisa att den matematik M levererar av nödvändighet är ofullständig i två avseenden. Det första av hans ofullständighetsteorem säger att om M är fritt från motsägelser finns alltid sanna aritmetiska satser sådana att M inte kan avgöra om de är härledbara teorem eller inte. Gödels andra teorem säger att om det faktiskt är sant att M är fritt från motsägelse då kan detta faktum själv inte vara ett teorem i M eftersom det skulle leda till en motsägelse. Det finns alltså aritmetiska satser som, om de är sanna, inte kan vara teorem i M.
      Gödels ofullständighetsteorem har tolkats på olika sätt men innan vi kan diskutera dem, måste vi helt kort gå igenom hans bevis. (Den följande framställningen följer i huvudsak Nagel och Newman bok Gödel’s Proof, nyutgåva 2001.)

Gödels insikt

Förhoppningen att konstruera matematik med hjälp modeller typ M bygger på antagandet att det är möjligt att upprätthålla en strikt åtskillnad mellan å ena sidan en modells inre, logiska mekanism och, å andra sidan, tolkningen av resultaten i en yttre, meningsbärande omvärld. Gödel inser emellertid att en sådan åtskillnad inte kan upprätthållas. Det måste finnas ett tolkande övergångskikt mellan regelverk och mening, mellan syntax och semantik. Han påvisar att i övergångsskiktet kan tecknen alltid byta plats med det betecknade. Utifrån den insikten bevisar han sina teorem i tre steg.
      Som ett första steg använder Gödel siffror som tecken, när han skriver ut sin modell. Alla logiska och matematiska relationer, som förekommer i modeller typ M, kan ju skrivas i någon sorts kod eller teckenskrift. Hur tecknen ser ut är naturligtvis helt likgiltigt; deras funktion är entydigt definierad i modellens inre struktur. Den kodning Gödel inför ger honom alltså möjlighet att skriva sina formler som sekvenser av siffror. Med en sifferkodning är emellertid en sekvens av siffror inte längre entydig. Sekvensen kan förstås både som ett tal och som en aritmetisk sats som beskriver ett tal. Men när ”en sats som beskriver (ett tal)” också kan skrivas som en siffersekvens, då är det naturligtvis tillåtet att konstruera ”en sats som beskriver (en sats som beskriver (ett tal))”; en sats som också den kan skrivas som en siffersekvens. Tecknen och det betecknade kan nu byta plats.
      I det andra steget använder Gödel sin sifferskrift för att inom M:s struktur konstruera en sats, G, som i översättning lyder ungefär ”Den sats (var siffersekvens är g) är inte ett härledbart teorem inom M.” Och han var så illistig när han formulerade satsen G, att också dess siffersekvens kan skrivas som talet g. Satsen G kan alltså tolkas som ”Den här satsen är inte ett teorem i M”. Och nu blir M svarslös. För om G är ett teorem i M, är G inte ett teorem; om det å andra sidan inte är ett teorem, då är det ett teorem. Men om M är motsägelsefritt kan inte både G och icke-G vara härledbara teorem. Alltså kan inte M avgöra om G är ett teorem eller inte.
      Men om vi nu betraktar denna slutsats i en yttre kontext så säger ju G om själv att det inte är ett teorem i M. Vilket faktiskt är sant! Alltså finns det sanna utsagor om tal som inte är teorem i M, vilket är Gödels första ofullständighetsteorem.
      Det tredje steget är en direkt logisk följd av det första teoremet. Man kan visa att om en modell innehåller en motsägelse, kan varje sats härledas som ett teorem. Även det omvända gäller: om man visar att en sats inte kan vara ett teorem i en modell, har man samtidigt visat att den modellen är fri från motsägelse. Nu är det möjligt att inom M formulera en sats, A, som i tolkning betyder ”M är fri från motsägelse”. Alltså kan man också konstruera sammansättningen ”om A så G”, vilket betyder att ”om M är fri från motsägelse, så är G ett teorem i M”. Men vi konstaterade nyss att G inte är ett teorem och alltså kan inte heller A vara det. Så vi når den märkliga slutsatsen att om M verkligen är motsägelsefritt kan detta inte vara ett teorem i M, eftersom det skulle leda till motsägelser. Vilket är Gödels andra ofullständighetsteorem.
      Det är lätt att bli förvirrad av dessa resonemang och det är nödvändigt att noggrant gå igenom dem steg för steg för att försäkra sig om det inte smugit sig in ett tankefel. Men Gödels argument har blivit grundligt nagelfarna och hans slutsatser håller: den matematik som genereras av deduktiva modeller typ M är av nödvändighet ofullständig och den kan heller aldrig bevisa sin egen felfrihet.
      Gödels teorem hör hemma i metamatematiken och i förstone kan man tycka att den borde stanna där hos en liten krets specialister. Hans sätt att argumentera belyser emellertid också frågor med vidare giltighet: Är det möjligt att bygga maskiner som tänker? Hur kan materia generera tankar, insikter?

Självreferens

Försöket att konstruera matematik med hjälp av modeller typ M är i första hand ett test av relationen mellan matematik och mekanik. I förlängningen är det också en test av relationen mellan tankar och materia. Är dessa två områden omedelbara avbildningar av varandra? Är det så att när nu mekanikens satser kan konstrueras matematiskt, då kan också matematikens satser konstrueras mekaniskt? Dessa frågor besvaras genom att jämföra ”vår” matematik med den som M kan leverera. Om dessa två former av matematik skulle varit helt överlappande, då hade slutsatsen blivit att också ”vår” matematik är en mekanisk produkt. Det vore då i förlängningen rimligt anta att också annat mänskligt tänkande är en produkt av mekaniska processer.
      Gödel visar emellertid att så inte är fallet. Den matematik som kommer ur människohjärnan är mer omfattande. Det går enkelt (nåja, förhållandevis enkelt) att påvisa ofullständigheter i M:s mekaniskt framställda tankevärld genom att ställa den inför uppgifter den borde kunna, men inte kan, bemästra. Oförmågan att lösa dessa uppgifter beror emellertid inte på en defekt detalj i en specifik modell M utan är inbyggd i själva förutsättningarna. Ytterst, visar Gödel, går dess begränsning tillbaka på en grundläggande oförmåga att hantera tecken.
      Ett tecken är ett föremål som står i en särskild relation till ett annat föremål, det betecknade. Relationen är ett anrop och etablerar sig i en flerskiktad verklighet. Tecknet som föremål finns i ett skikt, medan det tecknet anropar, det betecknade, finns i ett annat. Mekaniska modeller kan emellertid inte orientera sig i en verklighet, som utspelar sig samtidigt i flera skikt. När man konstruerade M var man tvungen att hålla skikten strikt skilda från varandra: sekvenser av tecken genereras först på en nivå enligt något mekaniskt regelverk (syntax), senare och på en annan nivå tillskrivs sekvenserna eventuellt en betydelse (semantik); något dubbelriktat utbyte mellan skikten får inte förekomma.
      Om tecknen hade varit ”rena” immateriella entiteter, som vistades i en egen och strängt avskild verklighet av information, hade mekaniska modeller kunnat fungera utmärkt. Åtminstone skulle vi mena att de fungerade tillfredställande, eftersom vi då själva fungerade på samma sätt. Men så är det uppenbarligen inte. Människan har lärt sig att hantera en flerskiktad värld, där det som sker i ett skikt vanligtvis inte passerar obemärkt i de andra. Vi har blivit vana att närvara i många skikt samtidigt och att umgås med föremål som anropar andra föremål.
      En särskild komplikation uppstår när den anropande relationen blir reciprok, alltså när ett betecknat föremål besvarar tecknets anrop. Det är just denna komplikation Gödel använder för att göra modeller typ M svarslösa. Reciproka anrop kan bli till en återkopplande slinga som Gödels sats G visar. Den satsen har ju något att säga om sig själv i förhållande till M, nämligen att ”G är inte ett teorem i M”. Eftersom G åberopa sig själv kan satsen även formuleras som ”Jag är inte ett teorem i M”. G är alltså en subjektliknande entitet och uppkomsten av subjektet utgör det avgörande beviset för att ett mekaniskt tillvägagångssätt är otillräckligt. Modeller typ M kan inte förhålla sig till subjektet typ G; det är bortom det de kan gripa. Däremot kan subjektet G beskriva sig självt i sin relation till M.
      Gödels insikt kan sammanfattas så att mekaniska system kan inte tänka, eftersom de är oförmögna till självreferens och inte förmår forma ett subjekt. Men vad fodras för att subjektliknande entiteter skall uppkomma?

Mekaniskt tänkande

Frågan om maskiner kan tänka har debatterats i Västvärlden under hela 1900-talet. Vid seklets början före Första Världskriget arbetade forskare intensivt med att bygga modeller typ M för att de skulle kunna leverera en felfri och komplett heltalsaritmetik. Det var först under mellankrigstiden som Kurt Gödel fann att ansträngningarna varit förgäves; allt dessa modeller kunde prestera var en ofullständig aritmetik och det var enkelt att ställa dem svarslösa. Under efterkrigstiden förnyades diskussionen om Gödels teorem och hur de skall tolkas. Dagens debatt återspeglar ett framväxande informationssamhälle och ett ökat intresse för artificiell intelligens. I princip står idag två tolkningar mot varandra, företrädda av Roger Penrose och Douglas Hofstadter.
      Penrose är matematiker och fysiker och han var tidigare professor i matematik i Oxford. I två omfattande böcker The Emperor’s New Mind (1989) och Shadows of the Mind (1994) diskuterar han den naturvetenskapliga världsbilden och det mänskliga tänkandets plats i den. Han ser Gödels teorem som bindande och tolkar dem så att den materiella världen, så som den beskrivs idag, omöjligen kan ge upphov till insiktsfullt tänkande. Det finnas ett glapp någonstans och det glappet finns i vår förståelse av det materiella. Dagens fysik består av två övergripande teoribildningar, relativitetsteori och kvantteori. De har varsitt giltighetsområde men hittills har man misslyckats med att förlika dem med varandra. Penrose saknar en förenande teori om kvantgravitation. Om det glappet kan fyllas, då kommer vi antagligen också att förstå hur ett stycke materia, den mänskliga hjärnan, kan frambringa insiktsfulla tankar. Och lyckas man bygga maskiner, där kvantgravitation är verksam på ungefär samma sätt som i den mänskliga hjärnan, då bör också dessa maskiner kunna tänka på ungefär samma sätt som vi gör.
      Douglas Hofstadter är också fysiker, matematiker och med särskild inriktning på forskning kring artificiell intelligens. Han har länge varit fascinerad av Gödels teorem och återkommer gång på gång till dem, särskilt i böckerna Gödel, Escher, Bach (1979) och I am a Strange Loop (2007). Också Hofstadter ser Gödels teorem som strängt bindande men tolkar dem annorlunda än Penrose. Han medger att arbetet med artificiell intelligens hittills inte har infriat tidiga förhoppningar. Det räcker inte med kraftfulla datorer, som kan hantera en komplicerad programvara. Vad dagens datorer saknar är förmåga att interagera aktivt med sin omgivning. Med en utbyggd interaktivitet kommer de emellertid att kunna lära sig hantera tecken, en flerskiktad verklighet och därmed kunna etablera självrefererande slingor, som ger datorn ett datorsubjekt. Om man lär sig programmeringsknepen bör det vara möjligt att konstruera framtida robotar, som kan lära sig tänka på ungefär samma sätt som vi.
      Penroses och Hofstadters tolkningar kan tyckas peka åt helt olika håll, men de har också en del gemensamt. Båda säger att för närvarande går det inte att konstruera datorer eller robotar som tänker; ännu saknas några avgörande komponenter. De har olika syn på vad det är som saknas men båda menar att på sikt kommer det säkert att bli möjligt att åtgärda bristen. Åtminstone finns inget som skulle göra det principiellt omöjligt för oss att konstruera tänkande maskiner.
      Penrose saknar en teori för kvantgravitation, alltså en teori för relationen mellan materiens storskaliga och småskaliga strukturer; en sådan teori skulle kunna framkalla något som liknar ett subjekt i en dators kretsar. Hofstadter saknar en reell interaktivitet mellan en rörlig robot och dess omgivning; en interagerande robot skulle kunna lära sig hantera tecknens flerskiktade verklighet och så utveckla ett eget subjekt.
Låt oss anta att de menar samma sak!
      Hofstadter efterlyser en flexibel interaktion mellan ett potentiellt intelligent system och den omgivning systemet befinner sig i. Men en sådan tvåvägs interaktion började inte med människan, inte med däggdjuren eller ryggradsdjuren; den började med de första bakterieliknande livsformerna för 4 miljarder år sedan. Konsekvensen av Hofstadters ståndpunkt är att man med mänsklig ingenjörskonst i princip kan kortsluta den evolutionära historien och rekonstruera varelser med mänskligt tänkande genom en kontrollerad inskolningsprocess, som kanske kommer att ta några tiotal år.
      Penrose efterlyser en teori om de processer som förenar universums småskaliga och storskaliga strukturer. När man har full insikt i en sådan teori kommer man att kunna konstruera strukturer, som är lika känsliga för dessa processer som den mänskliga hjärnan. Också konsekvensen Penroses ståndpunkt är att mänsklig ingenjörskonst kan kortsluta de levandes evolutionära historia.
      Jag har svårt att förstå det på annat sätt än att både Penrose och Hofstadter ger uttryck för en naiv naturvetenskaplig hybris: inga gränser får finnas för vad som står i den mänskliga vetenskapens makt. Denna hybris är desto mer märklig eftersom både Penrose och Hofstadter är fysiker och naturligtvis vet att det finns sådant som i princip är omöjligt, t.ex. att bygga en evighetsmaskin. Men om det nu tog fyra miljarder år att gå från bakteriers kunskap om sin omvärld till mänsklig kunskap om sin värld, finns anledning tro att det förloppet kan kortslutas av mänsklig ingenjörskonst och klaras av på några årtionden eller århundraden? Knappast!
      Att urskilja, att anropa, att vara en levande, att vara subjekt – allt det är så nära förbundet med vartannat att det inte går att skilja åt. Allt det sker i ett gränsland som en tvåvägs relation mellan ett inre rum och en yttre omgivning. Det är också där matematik har uppkommit, i gränstrakten mellan fantasins bilder och en materiell verklighet. Vilket naturligtvis inte är en förklaring av matematikens och tänkandets mirakel, det är bara en beskrivning av den väg, längs vilken en oförtjänt gåva har nått människan.